10. Anwendungen der Lambert'schen W-Funktion

(1)

a) y > 0:

Beispiel:

Berechnung mit MuPAD:

float(1 + lambertW(2/exp(1)))

        1.463055513

b) –1 < y < 0:

Die Gleichung

hat zwei Lösungen:

Beispiel:

float(1 + lambertW(-1/(2*exp(1))))

        0.768039047

float(1 + lambertV(-1/(2*exp(1))))

        -1.67834699


(2)

float(-2 - lambertW(-exp(-2)))

        -1.84140566

float(-2 - lambertV(-exp(-2)))

        1.146193221


(3)

a) k < 0:

Beispiel: k = –2

float(-lambertW(-1/-2))

        -0.3517337112

b) k > 0:

Beispiel: k = 4

float(-lambertW(-1/4))

        0.3574029562

float(-lambertV(-1/4))

        2.153292364


(4)


(5)

a) y > 0:

Beispiel: y = 4

float(lambertW(4*ln(3))/ln(3))

        1.141441887

b) y < 0:

Beispiel: y = –0,2

float(lambertW(-0.2*ln(3))/ln(3))

        -0.2686691116

float(lambertV(-0.2*ln(3))/ln(3))

        -2.170276592


(6)

a) x > 0:

Die beiden Lösungen x = 2 und x = 4 sind natürlich sofort zu sehen. Zur Übung sollen diese Lösungen aber auch noch durch Auflösen der Gleichung unter Verwendung der W-Funktion ermittelt werden.

float(-2/ln(2)*lambertW(-1/2*ln(2)))

        2.0

float(-2/ln(2)*lambertV(-1/2*ln(2)))

        4.0

b) x < 0:

Mit den gleichen Umformungen wie in a) ergibt sich:

float(-2/ln(2)*lambertW(1/2*ln(2)))

        -0.766664696


(7)

Berechnung des Tiefpunktes mit MuPAD:

f := x -> x^x :

f'(x)

         x           x - 1
        x ln(x) + x x

numeric::solve(f'(x) = 0,x)

        {0.3678794411}

f(0.3678794411)

        0.6922006276

Für y < 0,6922... gibt es keine Lösungen.

a) 0,6922 < y < 1:

In diesem Fall ist ln(y) < 0, also gibt es zwei Lösungen:

Beispiel: y = 0,9

float(exp(lambertW(ln(0.9))))

        0.8881353288

float(exp(lambertV(ln(0.9))))

        0.03006536849

b) y > 1:

In diesem Fall ist

.

Beispiel: y = 5

float(exp(lambertW(ln(5))))

        2.129372483


(8)

Das Minimum wird an der Stelle angenommen und beträgt .

Für gibt es zwei Lösungen, für y > 0 eine Lösung.

Beispiel: y = 2

float(exp(lambertW(2)))

        2.345750755


(9)


... bleibt dem Leser als leichte Übung überlassen ;-)


Home